Su padre Nerfid, dirige una escuela de tenis desde 1994; su madre es Zaneta y su hermano, Zlatan.
Su nacimiento se produjo poco después del estallido de la Guerra de Bosnia, en un hospital de maternidad situado cerca del Salón Olímpico de Zetra. La arena fue destruida en su momento, pero fue el mismo lugar donde Damir comenzaría a jugar tenis.
Fue recogepelotas en el Challenger de Sarajevo, BIH.
Mientras crecía, admiraba a Patrick Rafter y a Roger Federer.
Cuando era niño, disfrutaba del esquí y el fútbol, además del tenis. También de la actuación.
Aficionado del equipo de fútbol de su país FK Željeznicar.
En su niñez actuó en dos películas: Grbavica (2006), como actor de fondo, y Mörderischer Frieden (2007), en la que dio vida al personaje de Durcan.
Apoya al equipo de fútbol bosnio FK Zeljeznicar.
Estudió Ciencias Políticas, en la Universidad de Sarajevo.
Su preparador físico es Strahinja Tomovic.
Lesionado de la espalda, el abdominal, el hombro y el estómago en 2019.
(ACTUALIZADO EN MARZO 11 DE 2020)
Alcanzó el No. 23, lo más alto de su carrera, el 2 de julio de 2018 después de ganar su tercer título del ATP Tour en Antalya. Llegó al Top 100 el 23 de febrero de 2015 después de llegar a la final del Challenger de Morelos, MEX. Terminó 5 temporadas consecutivas en el Top 100 (2015-19).
Primer jugador en ganar títulos rusos en un solo año, ganando en San Petersburgo y Moscú sus primeros dos títulos en el ATP Tour.
Terminó la temporada 2017 con récord de 24-7 en el último tramo que incluyó la 1ª final en Winston-Salem. Obtuvo 36 victorias en 2017, la mayor cantidad de su carrera y destacándose por reclamar las mayores victorias de su carrera sobre el No. 3 Wawrinka en 1R de Dubái y sobre el No. 4 A. Zverev en CF de Shenzhen.
Avanzó a 3R de Grand Slam en 5 ocasiones, incluido Roland Garros 2018, donde lideró al No. 3 A. Zverev por 2 sets a 1 y sostuvo 1 MP antes de perder.
Derrotó a Nadal camino a la 4R del ATP Masters 1000 de Miami 2016. También alcanzó los octavos del ATP Masters 1000 de Montecarlo 2016 como Qualifier y del ATP Masters 1000 de París 2018.
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